Я местный, живу в Сочи, так что подскажу по географии.

Про милю не отвечу, не летаю особо. А вот по жилью — с детьми и коляской я бы не гнался за «первой линией». В районе центра спуски к морю крутые, с коляской намучаетесь, плюс там всё дороже именно за слово «у моря». Посмотрите в сторону Адлера или Кудепсты — там рельеф поположе, до воды идти спокойно, и апарты с кухней дешевле выходят.

Если реально ужать бюджет — частный сектор у хороших хозяев часто лучше апартов, и кухню дадут, и иногда стиралку. Брать лучше не у моря, а во второй-третьей линии, разница в цене ощутимая, а пешком те же 10-15 минут.

Еда: ходите на рынок, не в магазины у набережной. И не ешьте на самой набережной, отойдите пару кварталов вглубь — там же кормят вдвое дешевле и вкуснее. По морю — для мелких лучше галечные пляжи с пологим заходом, в Адлере такие есть.

О, про межгород подскажу, сам люблю кататься и по соседним странам мотаюсь. Между эмиратами реально дёшево на автобусах, уже выше писали. Добавлю что можно слетать одним днём на Дубай-Абу-Даби и обратно, а можно загнать в маршрут Рас-эль-Хайму — там горы Джебель Джайс, самый высокий зиплайн в мире если захочется, но это уже не бюджетно. А просто доехать и погулять — копейки. Из Сочи мне до ОАЭ ближе чем многим, рейсы есть прямые, тоже вариант для тебя через юг лететь.

@wild_ekaterina термальные источники это да, вещь. Я когда по Кавказу ездил, в горах такие купальни попадались дикие, без всякой инфраструктуры, просто из земли горячая вода идёт и местные сделали запруду из камней. Сидишь в пару, вокруг снег на вершинах, рядом дед местный байки травит. Думаю в Исландии похожая магия, только пооборудованнее. Гостеприимство правда другое, там народ посдержаннее, не зазовут к себе чай пить с порога.

Ребят, а никто не сказал про важное для января — там многие туристические штуки работают по сокращёнке или закрыты. Я из Сочи, езжу по соседям регулярно, и зимний Баку местами «спит»: часть кафе на Бульваре закрыта до сезона, фуникулёр к башням периодически не пашет из-за ветра, прогулочные катера по Каспию зимой не ходят. Так что отчасти то, что пугает ТС, правда.

Но Старый город, музеи, Гобустан, вулканы — всё работает круглый год. Просто настройся, что это будет спокойный созерцательный город, а не курорт. Мне зашло именно этим.